Como graficar una función racional (página 2)

Partes: 1, 2

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X=2 y X=-2
Estas raíces las puede obtener aplicando la formula general de segundo
grado o el método de factorización que le sea más cómodo.

Esto nos indica que la gráfica presentará dos asíntotas verticales, una
en X = 2
y otra en
X=-2
ASÍNTOTA OBLICUA :

Si en una función el grado del numerador es una unidad mayor que el
denominador, la función tiene asíntota oblicua.

Como en este caso ambos grados son iguales no hay asíntota oblicua.

Segundo : Determinar si existen cortes con el eje “X”
(Esto se obtiene igualando el numerador a cero).

COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL
Como ya pudimos notar al principio de este ejercicio, el polinomio que
conforma el numerador no tiene raíces reales, por lo tanto LA FUNCIÓN
NO “CORTA” AL EJE X.
Tercero : Determinar si existen cortes con el eje “Y”
(Esto se obtiene haciendo “X=0” en la función). En
otras palabras calculando f(0).
;
;
Esto nos indica que la función corta al eje Y en el punto (0 , – 0.5)

Cuarto : Calcular tres o cuatro puntos de la función en
cada uno de los intervalos en que quedó dividido el
sistema de coordenadas una vez graficadas las
asíntotas verticales.

Notamos que el eje X quedó dividido en tres intervalos, uno a la
izquierda de “-2”, uno entre “-2” y “2”, y otro a la derecha de “2”.
Estudiando el intervalo a la izquierda de “ -2” :

Para X = -6

;

Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-6 , 2.31)

Ing.JoséLuisAlbornozSalazar

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Para X = -5

;

Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-5 , 2.47)

Para X = -4

;

Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-4 , 2.83)

Para X = -3

;

Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-3 , 4)

Estudiando el intervalo entre “ -2” y “2” :

En este intervalo sabemos que existe el corte con el eje “Y”. Fue
calculado en el paso 3 [ la función corta al eje Y en el punto (0 , – 0.5) ]

Luego es necesario estudiar un punto antes y otro después del corte con
el eje Y. Esto nos permite visualizar fácilmente si la concavidad es
positiva o negativa.

Para X = -1

;

Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-1 , -1.33)

Para X = 1

;
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (1 , -1.33)

Estudiando el intervalo a la derecha de “2” :

Para X = 3

;

Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (3 , 4)

Para X = 4

;

Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (4 , 2.83)

Para X = 5

;

Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (5 , 2.47)

Para X = 6

;

Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (6 , 2.31)

Con esta información podemos graficar la función de una manera
bastante precisa.

Se recomienda que se vaya graficando intervalo por intervalo y tomando
mucho en cuenta la definición de asíntota y los cortes con el eje
horizontal y el eje vertical cuando los haya.

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Ejercicio 6 :
Graficar
Cuando observe que una función racional presenta un polinomio igual o
mayor de segundo grado (en el numerador o en el denominador) es
recomendable efectuar su factorización.
Esto nos permitirá visualizar si existen raíces comunes en el numerador
y denominador.
Si existe alguna raíz o raíces comunes esto nos indicará que existe uno
o varios puntos donde la función posee una indeterminación del tipo
“cero entre cero”
. Esta raíz representará la presencia de un
“hueco” y no de asíntotas.
En la función que queremos graficar observamos que el numerador es
un polinomio de segundo grado.
Al tratar de factorizar el numerador notaremos que es un polinomio “NO
FACTORIZABLE” (al aplicar la formula general de segundo grado o
resolvente notaremos que dentro de la raíz cuadrada se presentará un
número negativo y éstos generan una raíz imaginaria).

Esto nos indica que no existen “huecos” en la función ni cortes con el eje
X.

Ahora procedo de acuerdo a lo indicado en los ejercicios 1 y 2 de esta
guía.

Primero : Identificar y graficar en “líneas punteadas”
las posibles asíntotas que pueda tener la función.

ASÍNTOTA HORIZONTAL :
Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se
comparan los grados del numerador y denominador.

Si en la función

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1) n > m

2) n = m

3) n < m
f(x) NO posee asíntota horizontal

f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta

f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X.
f(x) NO posee asíntota
Esta función cumple con el caso 2, n > m
horizontal
ASÍNTOTA VERTICAL :

Para encontrar una asíntota vertical se iguala el denominador a cero. Las
raíces del polinomio que conforma el denominador de la función
representarán los valores de X por donde pasa la asíntota vertical
(Perpendicular al eje X).
X – 2=0
;
X=2
“X = 2”
pasará una asíntota vertical
Esto nos indica que por
(perpendicular al eje X) :
ASÍNTOTA OBLICUA :

Si en una función el grado del numerador es una unidad mayor que el
denominador, la función tiene asíntota oblicua.

Como en este caso la afirmación anterior se cumple, se procede a
calcular la ecuación de la asíntota oblicua.

Para calcular la ecuación de la asíntota oblicua se divide el numerador
por el denominador y el cociente obtenido representará la ecuación
buscada (se recomienda “repasar” DIVISION DE POLINOMIOS).

En este caso en particular :
Cociente
Resto
El cociente obtenido (X – 3) es la ecuación de una recta y su gráfica
representará la asíntota oblicua de la función estudiada.

Segundo : Determinar si existen cortes con el eje “X”
(Esto se obtiene igualando el numerador a cero).
Como ya pudimos notar al principio de este ejercicio, el polinomio que
conforma el numerador no tiene raíces reales, por lo tanto LA FUNCIÓN
NO “CORTA” AL EJE X.

Tercero : Determinar si existen cortes con el eje “Y”
(Esto se obtiene haciendo “X=0” en la función). En
otras palabras calculando f(0).
;
Esto nos indica que la función corta al eje Y en el punto (0 , – 5.5)

Cuarto : Calcular tres o cuatro puntos de la función en
cada uno de los intervalos en que quedó dividido el
sistema de coordenadas una vez graficadas las
asíntotas verticales.

Notamos que el eje X quedó dividido en dos intervalos, uno a la
izquierda y otro a la derecha de la asíntota vertical en X = 2.

Con esta información podemos graficar la función de una manera
bastante precisa.
Se recomienda que se vaya graficando intervalo por intervalo y tomando
mucho en cuenta la definición de asíntota y los cortes con el eje
horizontal y el eje vertical cuando los haya.

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Ejercicio 7 :
Graficar la función
Ejercicio 8 :
Graficar la función
Este ejercicio ha “asustado” a muchos de los estudiantes de bachillerato
y de la universidad. Al ver que el numerador es un polinomio de tercer
grado se imaginan que la gráfica resultará muy difícil.

Vean lo fácil que es graficar esta función :

Factorizando el numerador y denominador tendremos :

;

;

Lo que nos indica que la función a graficar será “Y = X” pero
presentando “huecos” cuando X+2=0 y cuando X+1=0 (X=-2 y X=-1)
Asíntota oblicua
f(x) = X – 3